系统特性的判断

核心思路

对于一个系统来说，我们可以把它看成一个黑盒子，我们可以将任何东西丢进去，观察他给出的答案。
当然，我们并不希望我们手中的系统是不可知的，所以在信号与系统中，我们使用了函数来描述一个系统的内在机理，此时对于任何一个输入，实际上我们都可以计算出他的输出。
在分析一个系统的系统特性，往往会犯的一个错误是选错了自变量，我们应该对输入进行整体变化，如用等来整体替换表达式中的输入，用预计的输出和实际计算得到的输出进行比较，判断该系统是否具有某个性质。这是系统特性判断的根本。
系统特性判断作为考试的必考题，对于每一个特性，本文将从定义（包括我个人的理解）、判断依据（包括比较多的情况，可用于快速判断）和非常典型的例子来分析。

系统特性

线性

定义

必须满足叠加性与齐次性，用一个式子来解释
若

则对于任意，满足

判断依据

1. 表达式中必须为一次的项的线性组合，不能出现常数项或高次项。

例子

1. 否
2. 是
3. 否
4. 是 积分器、微分器和累和器、差分器

时不变性

定义

什么是时不变？时不变是我们希望当延迟一个激励信号时，响应信号也进行相应的延迟。这是非常符合直觉的定义，自然而然的，当出现尺度变换和反转时，这个信号不可能是时不变的。
当我们计算时，我们比较的是“经过同样延迟的信号”和“系统真实输出的信号”，如果相同，那么就是时不变的，反之亦然。

1. 对于,我们可以通过简单的信号自变换来完成；
2. 对于,我们需要解释是系统对一个输入的激励信号，究竟做了什么。我们不妨引入一个概念：系统对信号的变换作用T。对于一个延迟输入的激励信号来说，他的时间参考轴并没有发生改变，所以信号对他的作用一定是发生在函数表达式中的t变量上的。
   我们不妨举个例子：
   
   
   
   故是非时变的。

判断依据

1. 时间变量只出现在的括号内并且的系数为1，次数为1

例子

1. 否
2. 否
3. 否
4. 是

因果性

定义

如果一个系统的输出仅仅决定于该时刻与之前的输人，这个系统称为因果系统。

判断依据

若x括号中的t表达式恒小于等于y括号中的，即为因果。

例子

1. 是
2. 否
3. 否拉伸后一定非因果系统。

稳定性

定义

如果一个系统在有界输入下的输出均为有界，这个系统称为稳定系统。

例子

1. 是
2. 否 连续的微分器和积分器，离散的累和器
3. 是需要注意离散的差分器是稳定系统。

记忆性

定义

如果一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输人，这个系统称为无记忆系统，反之即为记忆系统。

判断依据

1. 若x括号中的t表达式恒等于y括号中的，即为非记忆性。

可逆性

定义

如果一个系统对应不同的输入下有不同的输出，即输入与输出一一对应，则称该系统是可逆系统。
是否可以用唯一表示

例子

1. 否
2. 是 累和器和积分器
3. 否微分器逆系统需要加常数，不唯一确定，所以不可逆。