费米能级推导并解释其与温度的关系

写在前面：这是基于黄昆的《固体物理学》整理的费米能级的推导，push自己赶紧写完作业（

费米-狄拉克分布

量子统计中费米子所遵循的统计规律，使用统计规律的前提为系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。

我们首先给出费米分布函数：

其中各物理量解释如下：

：表示一个电子占据能量为E的本征态的几率，其值为0~1

：称为费米能级，由整个系统决定

：玻尔兹曼常数

另外，我们将引入态密度的概念:电子能级为准连续分布的情况下，单位能量间隔内的电子态数目。

在0K的极限温度下,没有热激发，根据电子总数等于所有能量位置态密度的积分，我们有：

而当温度在大于0K的有限温度下时，根据能态密度函数我们可以得到：

对于式积分，我们利用换元与分部积分处理：

我们引入：

那么转变为：

将式的费米分布函数式代入

观察得到，式为偶函数，在后面化简中我们将用到这个性质。

同时，对进行在泰勒展开：

将 $、$ 代入式中：

根据式偶函数的性质，第一项中，第二项为0，于是化简得到：

又根据中绝对零度下的情况，得到：

到这里我们就已经获得了与之间的关系，下面只需要把用表示出来即可。为了实现这一点，我们仍然采用泰勒展开：

将式代入式并化简，得到：

进一步地，对于近自由电子而言，态密度满足以下关系：

我们得到在近自由电子近似下的费米能级表达式：

根据式，我们已经可以非常清楚的发现，费米能级与温度的关系了，即随着温度的升高，费米能级是降低的。

听起来这是有点反常识的，但是我们只要理解的物理含义就不难发现症结所在。定义是当电子落于其上的概率是50%。定性地来说，不妨假设在TK温度下，仍保持原先0K温度下的费米面位置不变，即。那么当温度升高时，会产生热激发，让费米面附近出现填充。

根据式：

我们知道在费米能级上下电子增减的几率应当是相同的，然而近自由电子近似情况下，会随着增大而增大，所以为了补偿这部分增大量，势必会有一个减小。